УРОКИ № 1,2

ТЕМА. ЛОГІЧНІ ВИРАЗИ ТА ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ. ТАБЛИЦІ ІСТИННОСТІ

 

Мета: формування понять про математичну логіку, висловлен­ня, логічні сталі, змінні, вирази та формули; розгляд логічного запе­речення Not, логічного множення (кон'юнкції! та логічного додавання (диз'юнкції); формування вмінь будувати заперечення логічних вислов­лень і знаходити їх істинність, серед складених висловлень знаходити кон'юнкції та диз'юнкції і визначати їхню істинність, визначати поря­док виконання операції в логічних виразах та будувати до них табли­ці істинності; розвиток навичок та вмінь слухати, вести бесіду; вихо­вання толерантного ставлення один до одного.

Матеріали та обладнання: картки, завдання, підручник.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

 

ХІД УРОКУ

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

Вступне слово учителя

Людство впродовж свого існування постійно шукає відпо­відь на одне болюче питання: «Що є істина?» У процесі його розв’язання часто-густо відбувалася не тільки боротьба думок, а й фізична розправа над супротивником. Нерідко в людській історії траплялося, що кожний вважав, ніби істину знає лише він. А відстоюючи або прагнучи нав’язати її іншим, люди ви­користовували не лишень аргументи та докази, а й зброю або силу влади. Від цього могли тимчасово щось виграти окремі люди або навіть народи, але людство загалом лише втрачало.

Шлях до істини дуже складний, і ніхто з людей не може володіти нею в повному обсязі. Тому кожний повинен шану­вати право інших людей на істину, тобто на власну думку, на своє розуміння. А доводити свою слушність у цій царині мож­на лише силою фактів і доказів.

Згідно з означенням учених-філософів, істиною називають знання, яке відповідає дійсності. Це той зміст наших знань, який не залежить від нас, а лише визначається об’єктивною реальністю. Цікаво, що пошук істини ставав предметом ви­вчення не лише гуманітаріїв — філософів, поетів, музикан­тів, психологів, але й представників предметів природничо­го циклу. Інформатика — не виняток. Ми також шукатимемо істинні твердження та хибні, знаходитимемо алгоритми вирі­шення тих чи інших проблем.

Логіка (грец. — слово, зміст, думка, мова) — наука про форми, методи і закони інтелектуальної пізнавальної ді­яльності, правильного мислення, про способи міркування. Ло­гіка як наука вивчає способи отримання правильних висновків із висновків, отриманих раніше. Під час вивчення теми «Алгоритми з розгалуженнями» без логіки не обійтися в жодно­му разі, адже розгалуження — це алгоритмічна структура, де спочатку перевіряється деяка умова (значення логічного вира­зу), а залежно від її істинності чи хибності, — виконується та чи інша серія команд.

 

II. ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Інтерактивна технологія «Броунівський рух»

Учитель роздає картки з теоретичним матеріалом кожному учневі. Протягам 5 хвилин учні читають інформацію на карт­ці. Якщо учневі щось не зрозуміло, він формулює запитання вчителеві. Далі учні повинні ознайомити зі своєю інформацією інших однокласників, які сидять поруч. Учень може одночас­но розмовляти тільки з однією особою. Завдання полягає в то­му, щоб поділитися своїм фактом і самому отримати інформа­цію від іншого учня. Після завершення цієї вправи, учитель пропонує завдання, які дозволяють закріпити та застососувати новий теоретичний матеріал.

Далі вчитель пояснює завдання.

 

Картки з теоретичним матеріалом

Картка № 1

Математична логіка. Висловлення. Логічні сталі

Один із розділів логіки — математична логіка — є на­укою про закони математичного мислення. До основних по­нять математичної логіки належить поняття висловлення (логічний вираз). Під висловленням розуміють розповідне речення, про яке можна однозначно сказати, правильне (іс­тинне) воно чи неправильне (хибне). Висловлення познача­ють великими літерами англійського алфавіту, наприклад А = «Дніпро — найбільша річка України», В = «4 + 4 = 7». Основною властивістю висловлення є його істинність, інші властивості вважають несуттєвими. Значення істинності ви­словлення позначають 1 або true, якщо висловлення істин­не, 0 або false, якщо висловлення хибне. Наприклад, вислов­лення А = «Дніпро — найбільша річка України» є істинним, тобто значення його властивості істинність дорівнює true. Висловлення В = «4 + 4 = 7» є хибним, тобто значення йо­го властивості істинність дорівнює false. Значення true та false називають логічними константами.

Логічні вирази бувають прості та складені.

Простий логічний вираз — це два вирази, з’єднані сим­волом відношення (= (дорівнює), > (більше), < (менше), >= (більше або дорівнює), <= (менше або дорівнює), <> (не до­рівнює)).

Складений логічний вираз — це прості логічні вирази, з’єднані логічними операціями.

Логічні операції: заперечення, кон’юнкція (лат. — об’єднання), диз’юнкція (лат. — роз’єднання) та ін.

 

 

 

Картка № 2

Логічне заперечення Not. Таблиці істинності

Логічним запереченням Not називають операцію утворен­ня з висловлення А такого складеного висловлення Д (чита­ється «не А», «not А»), яке істинне тоді, коли А хибне, і хиб­не тоді, коли А істинне, тобто операція логічне заперечення Not, застосована до виразу А, дає істинний результат, якщо логічний вираз А є хибним і навпаки.

Використанню операції заперечення в українській мові відповідає вживання частки «не» перед дієсловом. Напри­клад, запереченням висловлення А — «Завтра я піду до шко­ли» є висловлення Д = «Завтра я не піду до школи». Ви­словлення та його заперечення не можуть бути одночасно істинними або одночасно хибними. Подібно до того, як у ма­тематиці використовують таблиці додавання та множення для визначення результатів виконання цих арифметичних опера­цій, у математичній логіці використовують таблиці істин­ності. У таблиці істинності для кожного можливого набору значень властивості істинність висловлень наводиться відпо­відне значення цієї властивості для висловлення, яке є ре­зультатом виконання логічної операції над ними. За озна­ченням, заперечення виконується над одним висловленням, яке може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця іс­тинності операції заперечення має такий вигляд:

А       Ā

0       1

1       0

або такий

А             Ā

False      True

True      False

 

Картка № З

Логічне множення (кон'юнкція). Таблиці істинності Кон’юнкцією (And) двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А А В (чи­тається «А і В», «А and В»), яке істинне тоді й тільки тоді, коли обидва висловлення А і В істинні. Використанню опе­рації кон’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «і». Наприклад, висловлення В = «Число 27 кратне 3 і число 27 кратне 9» є кон’юнкцією двох вислов­лень: «Число 27 кратне 3» і «Число 27 кратне 9». За озна­ченням, кон’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому та­блиця істинності операції кон’юнкція має такий вигляд:

 

 

 

 

А

В

А Λ В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

 

А    В    А Λ В

False   False         False

False    True        False

True    False         False

True     True        True

Операцію кон’юнкція також називають логічним множен­ням.

 

 

Картка № 4

Логічне додавання (диз'юнкція). Таблиці істинності Диз’юнкцією (Оr) двох висловлень А та В називають опе­рацію утворення такого складеного висловлення А V В (чита­ється «А або В»), яке істинне тоді й тільки тоді, коли істин­не хоча б одне з висловлень А або В. Операцію диз’юнкція також називають логічним додаванням. Використанню опера­ції диз’юнкція в українській мові відповідає вживання спо­лучника «або». Наприклад, висловлення С  «21 > = 21» є диз’юнкцією двох висловлень: «21 > 21» або «21 = 21». За означенням, диз’юнкція виконується над двома висловлення­ми. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції диз’юнкція має такий вигляд:

А

В

А V В

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

 

або такий:

 

A

B

AVB

False

False

False

False

True

True

True

False

True

True

True

True

 

Картка № 5

Логічні змінні. Логічні вирази. Логічні формули

Алгеброю логіки (булевою логікою, алгеброю висловлень) називають розділ математичної логіки, у якому розглядають­ся загальні властивості виразів, складених із висловлень із використанням логічних операцій. В алгебрі логіки викорис­товується поняття логічна змінна.

Логічна змінна — це змінна, яка може набувати лише значень true або false.

Завданням алгебри логіки є визначення істинності логіч­них виразів — виразів, що складаються з логічних констант логічних змінних, логічних операцій, дужок, наприклад, (AΛB)Λ(AVB). Зрозуміло, що значенням логічного виразу мо­же бути лише true або false. Для логічних операцій, розгля­нутих вище, визначено такий пріоритет операцій: запере­чення, кон’юнкція, диз’юнкція. Для зміни цього порядку виконання логічних операцій використовують дужки. Для обчислення значення істинності логічного виразу можна ви­користати таблиці істинності.

Для складання та заповнення таблиці істинності потрібно:

  1. Обчислити кількість можливих наборів значень логічних змінних. Якщо формула містить п різних логічних змін­них, то кількість можливих наборів значень цих змінних дорівнюватиме 2". Це число визначає кількість рядків у та­блиці істинності.
  2. Обчислити кількість логічних операцій у логічному вира­зі. Ця кількість плюс кількість логічних змінних визначає кількість стовпців таблиці.
  3. Заповнити перші п стовпців усіма можливими наборами значень логічних змінних.
  4. Заповнити кожний наступний стовпець значеннями, отри­маними під час виконання чергової логічної операції. Чер­говість встановлюється згідно з названим пріоритетом опе­рацій.

В останньому стовпці таблиці будуть отримані всі можли­ві значення істинності заданого логічного виразу.

Два логічні вирази називають рівносильними, якщо вони набувають однакових значень при одних і тих самих наборах значень логічних змінних, що входять до цих виразів. Рівносильність двох логічних виразів утворює логічну формулу.

 

Завдання. Побудуйте таблицю істинності логічного виразу  Ā V B Λ A.

Запропонований вираз містить дві логічні змінні, тобто п = 2. Отже, усього існує 4 набори можливих значень цих змін­них (2n = 22 = 4). Вираз містить 3 логічні операції: заперечен­ня, диз’юнкція та кон’юнкція. Отже, таблиця істинності скла­датиметься із 4 рядків і 5 стовпців. Першою, згідно з пріоритетом, виконуватиметься операція заперечення, другою — кон’юнкція, останньою — диз’юнкція, у якій потрібно використовувати ре­зультати перших двох операцій. Отримаємо таку таблицю іс­тинності:

 

А

В

1

2

3

Ā

В Λ А

Ā V В Λ А

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

Аналізуючи останній стовпець таблиці істинності, робимо висновок, що вираз матиме значення false лише у випадку, коли логічні змінні мають такі значення: А = true, В = false. У всіх інших випадках значенням логічного виразу буде true.

 

III. ВІДТВОРЕННЯ, ЗАСТОСУВАННЯ ТА ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО

Учні по черзі виконують завдання усно. Кожна правильна відповідь оцінюється в 1 бал, якщо учень вагається, розпочи­нається бесіда.

Робота з підручником

Завдання 1. Побудуйте заперечення висловлень і з’ясуйте їх істинність:

  1. Число 3 є дільником числа 545.
  2. Автомобіль не має права їхати на червоне світло.
  3. Існують паралелограми з прямими кутами.
  4. Рівняння 2х2-Зх + 1 = 0 має цілий корінь.
  5. Не існує натурального числа, що ділиться на 2.
  6. Існує ціле число, яке ділиться на всі цілі числа.
  7.  

Серед наведених складених висловлень знайдіть кон’юнкції та диз’юнкції, визначте їх істинність:

  1. Число 27 кратне 3 і кратне 9.
  2. 17 < 42 < 18.
  3. Число 2 просте або парне.
  4. Трикутник ABC є гострокутним, прямокутним або тупокут­ним.
  5. Діагоналі будь-якого паралелограма перпендикулярні та точ­кою перетину діляться навпіл.
  6. Якщо трикутник рівнобедрений, то він рівносторонній.
  7. 14 <14.
  8. 21>18.

Учні виконують завдання в зошиті, після чого відбуваєть­ся взаємоперевірка.

 

Завдання 2. Укажіть порядок виконання операції в логічних виразах та побудуйте до них таблиці істинності. Одне правиль­но виконане завдання оцінюється двома балами.

  1. А V Ā Λ В.
  2. А V Ē Λ А.
  3. А Λ В V Ā
  4. (АV E)Λ(ĀVĒ).

 

IV  ПІДСУМКИ УРОКУ

Учитель виставляє учням оцінки, коментуючи їх. Відпові­дає на запитання, які виникли в учнів протягом уроку.

 

V. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ