УРОКИ № 1,2
ТЕМА. ЛОГІЧНІ ВИРАЗИ ТА ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ. ТАБЛИЦІ ІСТИННОСТІ
Мета: формування понять про математичну логіку, висловлення, логічні сталі, змінні, вирази та формули; розгляд логічного заперечення Not, логічного множення (кон'юнкції! та логічного додавання (диз'юнкції); формування вмінь будувати заперечення логічних висловлень і знаходити їх істинність, серед складених висловлень знаходити кон'юнкції та диз'юнкції і визначати їхню істинність, визначати порядок виконання операції в логічних виразах та будувати до них таблиці істинності; розвиток навичок та вмінь слухати, вести бесіду; виховання толерантного ставлення один до одного.
Матеріали та обладнання: картки, завдання, підручник.
Тип уроку: засвоєння нових знань.
ХІД УРОКУ
І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
Вступне слово учителя
Людство впродовж свого існування постійно шукає відповідь на одне болюче питання: «Що є істина?» У процесі його розв’язання часто-густо відбувалася не тільки боротьба думок, а й фізична розправа над супротивником. Нерідко в людській історії траплялося, що кожний вважав, ніби істину знає лише він. А відстоюючи або прагнучи нав’язати її іншим, люди використовували не лишень аргументи та докази, а й зброю або силу влади. Від цього могли тимчасово щось виграти окремі люди або навіть народи, але людство загалом лише втрачало.
Шлях до істини дуже складний, і ніхто з людей не може володіти нею в повному обсязі. Тому кожний повинен шанувати право інших людей на істину, тобто на власну думку, на своє розуміння. А доводити свою слушність у цій царині можна лише силою фактів і доказів.
Згідно з означенням учених-філософів, істиною називають знання, яке відповідає дійсності. Це той зміст наших знань, який не залежить від нас, а лише визначається об’єктивною реальністю. Цікаво, що пошук істини ставав предметом вивчення не лише гуманітаріїв — філософів, поетів, музикантів, психологів, але й представників предметів природничого циклу. Інформатика — не виняток. Ми також шукатимемо істинні твердження та хибні, знаходитимемо алгоритми вирішення тих чи інших проблем.
Логіка (грец. — слово, зміст, думка, мова) — наука про форми, методи і закони інтелектуальної пізнавальної діяльності, правильного мислення, про способи міркування. Логіка як наука вивчає способи отримання правильних висновків із висновків, отриманих раніше. Під час вивчення теми «Алгоритми з розгалуженнями» без логіки не обійтися в жодному разі, адже розгалуження — це алгоритмічна структура, де спочатку перевіряється деяка умова (значення логічного виразу), а залежно від її істинності чи хибності, — виконується та чи інша серія команд.
II. ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
Інтерактивна технологія «Броунівський рух»
Учитель роздає картки з теоретичним матеріалом кожному учневі. Протягам 5 хвилин учні читають інформацію на картці. Якщо учневі щось не зрозуміло, він формулює запитання вчителеві. Далі учні повинні ознайомити зі своєю інформацією інших однокласників, які сидять поруч. Учень може одночасно розмовляти тільки з однією особою. Завдання полягає в тому, щоб поділитися своїм фактом і самому отримати інформацію від іншого учня. Після завершення цієї вправи, учитель пропонує завдання, які дозволяють закріпити та застососувати новий теоретичний матеріал.
Далі вчитель пояснює завдання.
Картки з теоретичним матеріалом
Картка № 1
Математична логіка. Висловлення. Логічні сталі
Один із розділів логіки — математична логіка — є наукою про закони математичного мислення. До основних понять математичної логіки належить поняття висловлення (логічний вираз). Під висловленням розуміють розповідне речення, про яке можна однозначно сказати, правильне (істинне) воно чи неправильне (хибне). Висловлення позначають великими літерами англійського алфавіту, наприклад А = «Дніпро — найбільша річка України», В = «4 + 4 = 7». Основною властивістю висловлення є його істинність, інші властивості вважають несуттєвими. Значення істинності висловлення позначають 1 або true, якщо висловлення істинне, 0 або false, якщо висловлення хибне. Наприклад, висловлення А = «Дніпро — найбільша річка України» є істинним, тобто значення його властивості істинність дорівнює true. Висловлення В = «4 + 4 = 7» є хибним, тобто значення його властивості істинність дорівнює false. Значення true та false називають логічними константами.
Логічні вирази бувають прості та складені.
Простий логічний вираз — це два вирази, з’єднані символом відношення (= (дорівнює), > (більше), < (менше), >= (більше або дорівнює), <= (менше або дорівнює), <> (не дорівнює)).
Складений логічний вираз — це прості логічні вирази, з’єднані логічними операціями.
Логічні операції: заперечення, кон’юнкція (лат. — об’єднання), диз’юнкція (лат. — роз’єднання) та ін.
Картка № 2
Логічне заперечення Not. Таблиці істинності
Логічним запереченням Not називають операцію утворення з висловлення А такого складеного висловлення Д (читається «не А», «not А»), яке істинне тоді, коли А хибне, і хибне тоді, коли А істинне, тобто операція логічне заперечення Not, застосована до виразу А, дає істинний результат, якщо логічний вираз А є хибним і навпаки.
Використанню операції заперечення в українській мові відповідає вживання частки «не» перед дієсловом. Наприклад, запереченням висловлення А — «Завтра я піду до школи» є висловлення Д = «Завтра я не піду до школи». Висловлення та його заперечення не можуть бути одночасно істинними або одночасно хибними. Подібно до того, як у математиці використовують таблиці додавання та множення для визначення результатів виконання цих арифметичних операцій, у математичній логіці використовують таблиці істинності. У таблиці істинності для кожного можливого набору значень властивості істинність висловлень наводиться відповідне значення цієї властивості для висловлення, яке є результатом виконання логічної операції над ними. За означенням, заперечення виконується над одним висловленням, яке може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції заперечення має такий вигляд:
А Ā
0 1
1 0
або такий
А Ā
False True
True False
Картка № З
Логічне множення (кон'юнкція). Таблиці істинності Кон’юнкцією (And) двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А А В (читається «А і В», «А and В»), яке істинне тоді й тільки тоді, коли обидва висловлення А і В істинні. Використанню операції кон’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «і». Наприклад, висловлення В = «Число 27 кратне 3 і число 27 кратне 9» є кон’юнкцією двох висловлень: «Число 27 кратне 3» і «Число 27 кратне 9». За означенням, кон’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції кон’юнкція має такий вигляд:
А |
В |
А Λ В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
А В А Λ В
False False False
False True False
True False False
True True True
Операцію кон’юнкція також називають логічним множенням.
Картка № 4
Логічне додавання (диз'юнкція). Таблиці істинності Диз’юнкцією (Оr) двох висловлень А та В називають операцію утворення такого складеного висловлення А V В (читається «А або В»), яке істинне тоді й тільки тоді, коли істинне хоча б одне з висловлень А або В. Операцію диз’юнкція також називають логічним додаванням. Використанню операції диз’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «або». Наприклад, висловлення С «21 > = 21» є диз’юнкцією двох висловлень: «21 > 21» або «21 = 21». За означенням, диз’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції диз’юнкція має такий вигляд:
А |
В |
А V В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
або такий:
A |
B |
AVB |
False |
False |
False |
False |
True |
True |
True |
False |
True |
True |
True |
True |
Картка № 5
Логічні змінні. Логічні вирази. Логічні формули
Алгеброю логіки (булевою логікою, алгеброю висловлень) називають розділ математичної логіки, у якому розглядаються загальні властивості виразів, складених із висловлень із використанням логічних операцій. В алгебрі логіки використовується поняття логічна змінна.
Логічна змінна — це змінна, яка може набувати лише значень true або false.
Завданням алгебри логіки є визначення істинності логічних виразів — виразів, що складаються з логічних констант логічних змінних, логічних операцій, дужок, наприклад, (AΛB)Λ(AVB). Зрозуміло, що значенням логічного виразу може бути лише true або false. Для логічних операцій, розглянутих вище, визначено такий пріоритет операцій: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція. Для зміни цього порядку виконання логічних операцій використовують дужки. Для обчислення значення істинності логічного виразу можна використати таблиці істинності.
Для складання та заповнення таблиці істинності потрібно:
- Обчислити кількість можливих наборів значень логічних змінних. Якщо формула містить п різних логічних змінних, то кількість можливих наборів значень цих змінних дорівнюватиме 2". Це число визначає кількість рядків у таблиці істинності.
- Обчислити кількість логічних операцій у логічному виразі. Ця кількість плюс кількість логічних змінних визначає кількість стовпців таблиці.
- Заповнити перші п стовпців усіма можливими наборами значень логічних змінних.
- Заповнити кожний наступний стовпець значеннями, отриманими під час виконання чергової логічної операції. Черговість встановлюється згідно з названим пріоритетом операцій.
В останньому стовпці таблиці будуть отримані всі можливі значення істинності заданого логічного виразу.
Два логічні вирази називають рівносильними, якщо вони набувають однакових значень при одних і тих самих наборах значень логічних змінних, що входять до цих виразів. Рівносильність двох логічних виразів утворює логічну формулу.
Завдання. Побудуйте таблицю істинності логічного виразу Ā V B Λ A.
Запропонований вираз містить дві логічні змінні, тобто п = 2. Отже, усього існує 4 набори можливих значень цих змінних (2n = 22 = 4). Вираз містить 3 логічні операції: заперечення, диз’юнкція та кон’юнкція. Отже, таблиця істинності складатиметься із 4 рядків і 5 стовпців. Першою, згідно з пріоритетом, виконуватиметься операція заперечення, другою — кон’юнкція, останньою — диз’юнкція, у якій потрібно використовувати результати перших двох операцій. Отримаємо таку таблицю істинності:
А |
В |
1 |
2 |
3 |
Ā |
В Λ А |
Ā V В Λ А |
||
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Аналізуючи останній стовпець таблиці істинності, робимо висновок, що вираз матиме значення false лише у випадку, коли логічні змінні мають такі значення: А = true, В = false. У всіх інших випадках значенням логічного виразу буде true.
III. ВІДТВОРЕННЯ, ЗАСТОСУВАННЯ ТА ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО
Учні по черзі виконують завдання усно. Кожна правильна відповідь оцінюється в 1 бал, якщо учень вагається, розпочинається бесіда.
Робота з підручником
Завдання 1. Побудуйте заперечення висловлень і з’ясуйте їх істинність:
- Число 3 є дільником числа 545.
- Автомобіль не має права їхати на червоне світло.
- Існують паралелограми з прямими кутами.
- Рівняння 2х2-Зх + 1 = 0 має цілий корінь.
- Не існує натурального числа, що ділиться на 2.
- Існує ціле число, яке ділиться на всі цілі числа.
Серед наведених складених висловлень знайдіть кон’юнкції та диз’юнкції, визначте їх істинність:
- Число 27 кратне 3 і кратне 9.
- 17 < 42 < 18.
- Число 2 просте або парне.
- Трикутник ABC є гострокутним, прямокутним або тупокутним.
- Діагоналі будь-якого паралелограма перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл.
- Якщо трикутник рівнобедрений, то він рівносторонній.
- 14 <14.
- 21>18.
Учні виконують завдання в зошиті, після чого відбувається взаємоперевірка.
Завдання 2. Укажіть порядок виконання операції в логічних виразах та побудуйте до них таблиці істинності. Одне правильно виконане завдання оцінюється двома балами.
- А V Ā Λ В.
- А V Ē Λ А.
- А Λ В V Ā
- (АV E)Λ(ĀVĒ).
IV ПІДСУМКИ УРОКУ
Учитель виставляє учням оцінки, коментуючи їх. Відповідає на запитання, які виникли в учнів протягом уроку.
V. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ